Объем цилиндрической емкости: формулы и примеры расчета

Объем цилиндрической емкости равен площади круглого сечения, умноженной на длину цилиндра: V = π·D²/4·H, где D – внутренний диаметр, H – высота вертикальной емкости или длина горизонтальной, все размеры в метрах. Например, при D = 2 м и H = 3 м получается V = 3,1416·4/4·3 = 9,42 м³, то есть 9425 литров. Эта формула дает объем только цилиндрической части: если днища выпуклые или конические, их объем прибавляют отдельно, а для частично заполненной горизонтальной емкости нужна формула сегмента круга. Ниже – все эти случаи с пошаговыми примерами и таблицей степени заполнения.

Базовая формула и порядок расчета

Цилиндр – это круг, «вытянутый» на длину. Поэтому расчет всегда идет в два действия: найти площадь сечения S = π·D²/4 (или π·R², где R = D/2), затем умножить ее на высоту или длину. Для вертикальной и горизонтальной емкости формула одна и та же, меняется только то, какой размер называют высотой.

1. Возьмите внутренний диаметр. Наружный диаметр минус две толщины стенки – это и есть внутренний; при толщине листа в несколько миллиметров и диаметре в метры разница мала, но для точного учета жидкости ее стоит учитывать.
2. Возьмите длину цилиндрической части – без днищ.
3. Переведите оба размера в метры.
4. Посчитайте V = π·D²/4·H и прибавьте объем днищ, если они не плоские.

Пример: объем цилиндрической емкости, лежащей горизонтально, с плоскими днищами при D = 2 м, L = 5 м. V = 3,1416·2²/4·5 = 3,1416·5 = 15,71 м³. Если в задаче речь о горизонтальном аппарате с выпуклыми днищами, к этой цифре добавится еще около 2 м³ – как это считается, показано ниже.

Перевод единиц: миллиметры, кубометры, литры

Чертежи емкостей выполняют в миллиметрах, а объем удобнее получать в кубометрах. Самая частая ошибка расчета – подставить миллиметры и получить число с девятью лишними нулями. Правила простые:

• 1 м = 1000 мм, поэтому диаметр 2400 мм – это 2,4 м;
• 1 м³ = 1000 л, 1 л = 1 дм³;
• если считать в дециметрах, результат сразу выйдет в литрах.

Пример: D = 2400 мм, L = 6000 мм. Переводим в метры – 2,4 и 6. V = 3,1416·2,4²/4·6 = 3,1416·5,76/4·6 = 27,14 м³, или 27 143 л.

Объем горизонтальной цилиндрической емкости с днищами

У горизонтальных аппаратов днища почти всегда выпуклые: эллиптические, полусферические или конические. Объем цилиндрической емкости в таком случае – сумма объема обечайки и двух днищ. Такие аппараты описаны на странице горизонтальных резервуаров. Глубину днища hд отсчитывают от линии сварного шва с обечайкой; если у днища есть цилиндрический борт, его длину прибавляют к длине цилиндра.

Возвращаемся к примеру с D = 2 м и цилиндрической частью 5 м: с двумя эллиптическими днищами 2:1 полный объем составит 15,708 + 2·1,047 = 17,80 м³. Разница с плоскими днищами – почти 12 %, поэтому днища пропускать нельзя. Для торосферических днищ точной короткой формулы нет: их объем берут из таблиц изготовителя днищ или из 3D-модели. Об устройстве горизонтальных и вертикальных аппаратов подробнее – в статье РВС и РГС: расшифровка и устройство.

Как определить объем жидкости в горизонтальной цилиндрической емкости

Когда горизонтальный цилиндр заполнен частично, сечение жидкости – не круг, а круговой сегмент. Его площадь при уровне h, отсчитанном от нижней точки, и радиусе R:

S = R²·arccos((R − h)/R) − (R − h)·√(2·R·h − h²)

Объем жидкости в цилиндрической части – V = S·L. Арккосинус берется в радианах; формула работает при любом уровне от нуля до полного диаметра, в том числе выше середины, когда (R − h) становится отрицательным.

Пример: D = 2 м (R = 1 м), L = 5 м, уровень h = 0,5 м. (R − h)/R = 0,5, arccos 0,5 = 1,0472 рад. Корень: √(2·1·0,5 − 0,25) = √0,75 = 0,8660. S = 1,0472 − 0,5·0,8660 = 0,6142. V = 0,6142·5 = 3,07 м³. Заметьте: уровень – четверть диаметра, а заполнено меньше пятой части объема, потому что у дна сечение узкое.

Если днища выпуклые, жидкость в них считают отдельно. Для пары эллиптических днищ глубиной a (вместе они образуют эллипсоид) объем жидкости при уровне h: Vд = π·a·h²·(3R − h)/(3R). В нашем примере с a = 0,5 м: Vд = 3,1416·0,5·0,25·2,5/3 = 0,327 м³, итого в емкости 3,07 + 0,33 = 3,40 м³. Для полусферических днищ подставляют a = R. Формулы легко перенести в электронную таблицу – получится собственный калькулятор: в ячейке с уровнем меняете h и сразу видите литры.

Таблица степени заполнения горизонтальной емкости

Для быстрой оценки удобно пользоваться долей: отношение уровня к диаметру h/D переводится в долю заполненного объема цилиндрической части. Коэффициенты рассчитаны по формуле сегмента и не зависят от размеров аппарата. В последней колонке – объем для цилиндра D = 2 м, L = 5 м с плоскими днищами (полный объем 15,71 м³).

Таблица симметрична: доля при h/D = 0,7 равна единице минус доля при 0,3. Это удобная самопроверка – если ваш расчет ее нарушает, ошибка в знаке или в единицах угла. Для промежуточных значений линейная интерполяция между соседними строками дает погрешность в пределах долей процента в середине диапазона, у дна и у верха она растет.

Объем жидкости в вертикальной емкости

В вертикальном цилиндре задача проще, и объем цилиндрической емкости при любом уровне считается в одно действие: сечение постоянно по высоте, и объем жидкости пропорционален уровню. Для емкости с плоским дном V = π·D²/4·h. Пример: D = 3 м, высота стенки 6,5 м – полный объем цилиндра 45,95 м³; при уровне 5,2 м внутри 36,76 м³.

Если дно коническое или эллиптическое, к цилиндрической части прибавляют полный объем днища, а уровень отсчитывают от его нижней точки. При коническом дне высотой hк и уровне h ниже основания конуса объем жидкости V = π·D²·h³/(12·hк²). Пример: D = 2 м, hк = 0,5 м. Полный объем конуса – 0,524 м³; при уровне 2 м от вершины конуса в емкости 0,524 + 3,1416·1·1,5 = 5,24 м³, а при уровне 0,3 м, когда жидкость еще в конусе, – 0,113 м³. Конические днища часто ставят на аппараты, которые нужно полностью опорожнять; о вертикальных исполнениях – на странице вертикальных резервуаров.

Номинальный, полный и рабочий объем: в чем разница

В технической документации встречаются три цифры, и путать их нельзя.

• Номинальный объем – округленное значение из обозначения аппарата, по которому его подбирают и заказывают.
• Полный (геометрический) объем, или вместимость – сколько помещается во внутреннюю полость целиком: цилиндр плюс днища, за вычетом объема внутренних устройств.
• Рабочий объем – сколько продукта допускается держать в процессе. Он всегда меньше вместимости.

Причины, по которым рабочий объем меньше полного, общие для большинства аппаратов. Над уровнем оставляют свободное пространство: жидкость расширяется при нагреве, при перемешивании образуется воронка и волна, некоторые среды пенятся. Мешалка, вал, перегородки, змеевик занимают часть полости. Наконец, патрубки и датчик верхнего уровня нельзя затапливать.

Пример из нашей практики: емкость с перемешиванием номинально 50 м³ имеет вместимость 49,5 м³ и рабочий объем 45 м³ – около 91 % вместимости. У другой емкости с мешалкой вместимость 26,5 м³, рабочий объем 24 м³, это тоже около 91 %. Как подбирают перемешивающие устройства и почему они влияют на запас по уровню, описано на странице емкостей с мешалкой.

Что указать в ТЗ на емкость по объему

Чтобы изготовитель правильно понял задачу, в техническом задании стоит прямо написать, какой объем вы задаете – рабочий или полный. Если указан только «объем 30 м³», одна сторона подразумевает рабочий, другая – геометрический, и аппарат выходит меньше нужного. Полезно перечислить:

• требуемый рабочий объем и, при необходимости, запас над ним;
• положение – вертикальное или горизонтальное – и ограничения по диаметру, высоте или длине на месте установки;
• тип днищ и требование к полному опорожнению;
• среду, ее плотность и температуру, наличие пены и перемешивания;
• нужна ли градуировочная таблица «уровень – объем» для учета продукта.

Альфатех Минералс изготавливает вертикальные и горизонтальные емкости и резервуары по ТЗ, в том числе с мешалками, из углеродистой и нержавеющей стали AISI 304, 316 и 12Х18Н10Т. Точнее всего полный и рабочий объем считаются по 3D-модели аппарата: в ней уже учтены днища, патрубки и внутренние устройства. Типы аппаратов собраны в каталоге металлических емкостей на заказ, стоимость рассчитаем по вашему ТЗ.